이차방정식 계산기
계수 a·b·c로 근의 공식·판별식·꼭짓점과 인수분해를 계산합니다.
2x² − 4x − 1 = 0 의 근
x = (2 ± √6)/2
≈ 2.22474487139, −0.224744871392
- 판별식 D
- 24 (D > 0, 서로 다른 두 실근)
- 꼭짓점
- (1, −3)
- 두 근의 합 −b/a
- 2
- 두 근의 곱 c/a
- −1/2
예시 결과예요. 위에 조건을 입력하고 버튼을 누르면 내 결과가 나와요.
그래프 y = ax² + bx + c
| 볼록 방향 | 아래로 볼록 (a > 0) |
|---|---|
| 최솟값 | x = 1 일 때 y = −3 |
| 축 | x = 1 |
| y절편 | (0, −1) |
| x절편 | (2.22474487139, 0), (−0.224744871392, 0) |
| 인수분해 | 유리수 범위에서는 안 돼요 |
- 근이 유리수가 아니라 정수 계수 인수분해는 되지 않아요. 근을 써서 a(x − α)(x − β) 꼴로는 나타낼 수 있어요.
계산 과정 보기
| 방정식 | 2x² − 4x − 1 = 0 |
|---|---|
| 판별식 D = b² − 4ac | (−4)² − 4 × 2 × −1 = 24 |
| 근의 공식 | x = (4 ± √24) / 4 |
| 근호 간단히 | √24 = 2√6 |
| D > 0 → 서로 다른 두 실근 | x = (2 ± √6)/2 |
다음에 할 일
이런 경우에 써요
- 이차방정식 숙제의 근을 근의 공식 과정까지 확인할 때
- 판별식으로 근의 종류(두 실근·중근·허근)를 볼 때
- 이차함수 그래프의 꼭짓점·축·절편과 최댓값·최솟값을 구할 때
계산 방법
계수에 분수나 소수가 있으면 분모를 없애 정수 계수로 맞춘 뒤 판별식 D = b² − 4ac 를 구해요. 근의 공식에 넣고, √D 를 소인수분해로 간단히 한 다음 공약수로 약분해요. 근이 유리수면 a(x − α)(x − β) 꼴로 인수분해해요.
| 판별식 | 근의 종류 | 그래프와 x축 | 예 |
|---|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만남 | x² − 5x + 6 = 0 → 2, 3 |
| D = 0 | 중근 | 한 점에서 접함 | x² − 4x + 4 = 0 → 2 |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근 | 만나지 않음 | x² + x + 1 = 0 → (−1 ± √3i)/2 |
주의할 점
a 가 0 이면 이차방정식이 아니라 계산하지 않아요. 계수는 분수로 정확히 계산하지만 근삿값은 유효숫자 12자리 반올림이에요.
기준과 출처
자주 묻는 질문
근의 공식이 뭐예요?
ax² + bx + c = 0 의 근은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 예요. 계수를 넣으면 이 식에 대입하는 과정과 근호를 간단히 하는 과정을 보여 드려요.
판별식이 음수면 어떻게 돼요?
D = b² − 4ac < 0 이면 실수 범위에서는 근이 없고, 서로 다른 두 허근이 나와요. x² + x + 1 = 0 이면 x = (−1 ± √3i)/2 예요. 그래프는 x축과 만나지 않아요.
중근은 뭐예요?
판별식이 0 이라 두 근이 같은 경우예요. x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 이면 x = 2 가 중근이고, 그래프는 x축에 한 점에서 닿아요.
두 근의 합과 곱은 근을 안 구해도 알 수 있어요?
네, 근과 계수의 관계로 합은 −b/a, 곱은 c/a 예요. x² − 5x + 6 = 0 이면 합 5, 곱 6 이에요.
오늘의 투표
신발장 앞에서 오래 갈리는 두 브랜드예요.
로그인 없이 투표할 수 있습니다. 응답이 모이면 결과를 확인할 수 있고, 로그인 회원은 하루 한 개의 콩을 받을 수 있습니다.